Fyzika

Škola
[Edit]

Klasická molekulová fyzika a termika
Struktura a vlastnosti plynů
- Rychlosti molekul IP
- Tlak IP
Stavová rovnice pro uzavřenou TDS
Cyklický děj
- Tepelné motory
Struktura pevných látek
Struktura a vlastnosti kapalin
Kapilární tlak
Změna skupenství látek
Mechanické kmitání a vlnění
- Harmonický lineární oscilátor
- Skládání kmitání
  - Skládání kmitání na stejné přímce
  - Skládání kmitů ve směrech na sebe kolmých
Dynamika kmitání
Mechanické vlnění

Klasická molekulová fyzika a termika

Vnitřní stavba látek a její vnější projevy
Zkoumá velké množství částic látky v běžných časových intervalech
Zákony klasické fyziky a statistiky (statistická fyzika)
Nepopisuje okamžitý stav a pohyb jednotlivých částic (kvantová fyzika)

Kinetická teorie stavby látek

Shrnutí základních poznatků klasické fyziky o stavbě látek
Látky všech skupenství se skládají z částic
- Atomy, molekuly, ionty a jiné, menší částice
- Nespojitá (diskrétní) struktura látek, většina prostoru není vyplněna částicemi
- Dokázáno elektronovými mikroskopy, experimenty
Částice se neustále a neuspořádaně pohybují
- Tepelný pohyb - jeho intenzita závisí na teplotě látky, teoretické zastavení pohybu při teplotě 0 K
- Posuvný pohyb zejména v plynech a kapalinách, rotační u víceatomových molekul, kmitavý u částic pevných a kapalných látek
- V rovnovážném stavu jsou všechny směry pohybu stejně pravděpodobné
- Důsledkem těchto pohybů je osmóza, difuze, Brownův pohyb, tlak plynu aj.
Částice látky mezi sebou neustále interagují přitažlivými a odpudivými silami
- Soudržnost pevných látek, malá stlačitelnost pevných a kapalných látek, přilnavost látek, fluktuace tlaku plynu
Vlastnosti sil interakce částic látky
- Malá vzdálenost (řádově $10^{-12}$ m) - převládají odpudivé elektromagnetické síly
- rovnovážná poloha
- Větší vzdálenost - převládají přitažlivé síly, velikost záleží na typu a skupenství látky
- Důsledky:
  - Chemické vazby mezi atomy, vazby v jádru atomu
  - Kmitavý pohyb částic v plynech a kapalinách
  - Potenciální energie soustavy 2 a více částic, je nutná práce vnějších sil k rozbití vazby mezi nimi

Modely struktur látek různých skupenství

Vlastnost	Pevné látky	Kapaliny	Plyny
střední vzdálenost částic	menší, záleží na látce	menší, záleží na látce	nejdále, řádově 0,1 nm
rovnovážné polohy (vazby)	stálé	slabé, nestálé	zanedbatelné (u ideálního plynu žádné)
charakter tepelného pohybu	kmitavý	kmitavý kolem nestálé rovnovážné polohy	posuvný
složky vnitřní energie	$E_{p} >> E_{k}$	$E_{p}=E_{k}$	$E_{p} << E_{k}$

Stavové a dějové veličiny

popisují okamžitý stav termodynamické soustavy
- teplota, tlak, objem, vnitřní energie, hmotnost, látkové množství, hustota, fáze látky aj.
Termodynamická soustava = těleso, soubor těles/částic
- izolovaná - nedochází k výměně s okolím
- uzavřená - dochází k výměně energie s okolím
- adiabaticky izolovaná - nedochází k tepelné výměně
- otevřená - dochází k výměně částic i energie
Termodynamický děj = změna stavových veličin soustavy, popisována dějovými veličinami
- práce, teplo, gradienty stavových veličin
Rovnovážný stav = stav s největší pravděpodobností výskytu
Rovnovážný děj = ideální děj, při každém okamžiku děje je soustava v rovnovážném stavu
Vratný děj = děj, který se dá zvrátit přesně zpět

Teplota a její měření

stavová veličina, značeno $T$ $T$ (termodynamická teplota [K]), $t$ $t$ (Celsiova, Fahrenheitova)
- termodynamická teplota je definována nezávisle na použité látce, základním bodem je absolutní nula (0 K)
- 0 K definováno jako teplota ideálního plynu o nulovém objemu a tlaku
- 1 K do roku 2019 definován pomocí trojného bodu vody (273,16 K), dnes definován fixací Boltzmannovy konstanty
- Celsiova stupnice - definována pomocí bodu tání a varu vody za normálního tlaku
- změna termodynamické teploty odpovídá změně teploty Celsiovy
lze ji chápat vnější obraz vnitřní energie termodynamické soustavy, odráží se v ní tepelný pohyb
jednotka je jednou ze sedmi základních jednotek SI
měřena teploměry různého typu
- založeny na nultém termodynamickém zákoně (0 TDZ) - jsou-li dvě termodynamické soustavy v rovnovážném stavu, mají stejnou teplotu
- teplotní roztažnost látek (rtuť, líh, bimetalový pásek), změny el. odporu, termoelektrický jev

Molární stavové veličiny

Látkové množství $n=\frac{N}{N_{A}}$
Avogadrova konstanta $N_{A}=6,022\cdot10^{23} mol^{-1}$
Univerzální hmotnostní konstanta $m_{u}=1,66\cdot10^{-27} kg$
Relativní atomová hmotnost $A_{r}(M_{r})=\frac{m_{0}}{m_{u}}$
Molární hmotnost
Molární objem $V_{m}=\frac{V}{n}$

Vnitřní energie termodynamické soustavy

povaha ve vnitřní struktuře látky
suma energií všech částic látky
tvořena převážně potenciální a kinetickou energií
značena $U$ , jednotka $J$
$U\neq const.$ $U \neq = co n s t .$ , měněna tepelnou výměnou, konáním práce ( $\Delta U= Q+W$ $Δ U = Q + W$ , první termodynamický zákon)
- znaménková úmluva $\Delta U > 0$ je přírůstek vnitřní energie, $Q > 0$ je dodané teplo a $W > 0$ je práce konaná vnějšími silami proti silám soustavy

Tepelná výměna

změna tepla bez konání práce
částice látky s větší vnitřní energií předají část energie částicím látky s menší vnitřní energií
není podmíněna vzájemným dotykem soustav

Vedení (kondukce)
- látkové prostředí
- při dotyku (pevné látky)
- bez pohybu
- vodiče/izolanty
Proudění (konvekce)
- látkové prostředí
- tekutiny
- pohyb látky, Archimédův zákon
Záření (radiace)
- netřeba látkového prostředí (může probíhat i ve vakuu)
- výměna tepla na dálku prostřednictvím fotonů
- každé těleso s $T > 0K$ je zdrojem tepelného záření

Teplo

dějová veličina, značeno $Q$ , $[Q] = J$
$Q = mc\Delta T$ $Q = m c Δ T$ , kladné teplo značí přijatou energii
- $c$ - měrná tepelná kapacita látky, $[c] = J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}$
- $C$ - měrná tepelná kapacita tělesa, $C = mc$ , $[C] J \cdot K^{-1}$
zákon zachování energie při tepelné výměně popisuje kalorimetrická rovnice
- $\sum Q_{p} = - \sum Q_{o}$ , pro dvě tělesa $m_{1}c_{1}(t - t_{1}) = m_{2}c_{2}(t_{2}-t)$

Struktura a vlastnosti plynů

model ideálního plynu (IP), 3 základní vlastnosti
- rozměry a tvar molekul IP jsou zanedbatelné vzhledem k jejich střední vzdálenosti (molekuly můžeme považovat za hmotné body)
- potenciální energie molekul je nulová, molekuly mezi sebou navzájem neinteragují vyjma vzájemných “srážek”
- vzájemné srážky molekul IP se stěnou nádoby jsou dokonale pružné, neztrácí se při nich energie
model použitelný u plynů za normálních podmínek (teplota 20˚C, tlak 1013,25 hPa)
- obecně při vyšší teplotě a nižším tlaku se plyn více podobá ideálnímu plynu

Rychlosti molekul IP

je-li IP v rovnováze, jsou všechny směry rychlostí molekul stejně pravděpodobné
velikosti rychlostí nejsou stejně pravděpodobné, nejpravděpodobnější rychlost závisí na teplotě IP, při pokojové teplotě je tato rychlost přibližně 395 m/s
pro popis IP se nejčastěji používá střední kvadratická rychlost $v_{k}$ $v_{k}$ , vyplývá z kinetické energie částic plynu (kdyby se všechny částice pohybovaly touto rychlostí, měla by soustava stejnou vnitřní energii), při pokojové teplotě je přibližně 483 m/s
- vnitřní energie IP je přímo úměrná jeho termodynamické teplotě podle vztahu $U = \frac{3}{2} NkT$ , kde $k$ je Boltzmannova konstanta ( $k = 1,38 \cdot 10^{-23} J \cdot K$ )
- ze vztahu $U = \frac{1}{2} Nm_{0}v_{k}^{2}$ získáváme $v_{k} = \sqrt{\frac{3kT}{m_{0}}}$

Tlak IP

vyvolán nárazy částic IP na stěny nádoby
- počítáme střední hodnotu, jelikož je pohyb molekul chaotický, reálný tlak se pohybuje kolem této hodnoty (fluktuace tlaku)
- odvození vztahu:
  - BÚNO předpokládejme, že se všechny částice pohybují rychlostí $v_{k}$
  - Na plochu o obsahu $S$ dopadnou za dobu $t$ všechny molekuly z objemu $v_{k}St$ a pohybují se v kladném směru osy x
  - V objemu $v_{k}St$ je $N_{v}vSt$ částic, ve směru osy x se pohybuje $\frac{1}{3}$ , z nich ale jen polovina v kladném směru, tlak tedy vyvolává jen $\frac{1}{6}$ z celkového počtu částic
  - Při nárazu na plochu se částice pružně odrazí, velikost změny hybnosti je $2p = 2m_{0}v_{k}$ , celková změna hybnosti částic pak je $2m_{0}v_{k}\frac{1}{6}N_{v}v_{k}St$ , po zkrácení a dosazení za tlak získáváme $p=\frac{1}{3}\frac{N_{v}}{V}m_{0}v_{k}^{2}$
  - Dosazením za rychlost získáváme stavovou rovnici IP $pV=NkT$ , dosazením za počet částic získáváme $pV=nRT$ , kde $R$ je molární plynová konstanta ( $R=N_{A}k=8,31$ )

Stavová rovnice pro uzavřenou TDS

$N = konst.$ , $n = konst.$ , $m = konst.$
$\frac{pV}{T} = konst.$
při různých dějích lze rovnici dělit konstantou
- izobarický - nemění se tlak
- izochorický - nemění se objem
- izotermický - nemění se teplota

Cyklický děj

děj, při kterém projde IP posloupností stavů, ale na konci děje se vrací do původního stavu
v pV diagramu je znázorněn uzavřenou křivkou
obsah uzavřené plochy v pV diagramu je roven práci vykonané při ději
změna vnitřní energie IP je rovna nule, tedy $-W = Q$
$Q = Q_{1} - Q_{2}$ , kde $Q_{1}$ je teplo, které IP přijme od ohřívače a $Q_{2}$ teplo, které odevzdá chladiči
účinnost je poměr práce a a přijatého tepla, $\frac{-W}{Q_{1}}=\frac{Q_{1}-Q_{2}}{Q_{1}}=1-\frac{Q_{2}}{Q_{1}}$
cyklické děje můžeme skládat z předchozích, necyklických dějů
využívají je tepelné a chladicí stroje
- tepelné stroje přeměňují teplo na práci
- chladicí stroje přeměňují práci na změnu tepla (lednice, tepelná čerpadla…)

Tepelné motory

Zařízení, které pro svůj běh využívají cyklický děj.

dělení podle pracovního plynu:
- spalovací, parní
dělení podle principu, na kterém pracují
- parní - turbína/stroj
- spalovací - reaktivní (proudové, raketové)/pístové (zážehové, vznětové)

Struktura pevných látek

dělení krystalické x amorfní
krystalické
- pravidelné uspořádání částic, vlastnosti závisí na vazbách mezi částicemi
- monokrystaly - těleso tvořeno krystalem, jehož tvar jde poznat i v makro hledisku
- polykrystaly - částice v krystalické mřížce tvoří zrna, samotná zrna už ale nejsou uspořádána v mřížce
- izotropní - ve všech směrech má krystal stejné vlastnosti (např. kovy)
- anizotropní - v různých směrech různé vlastnosti (např. sůl)
amorfní
- nepravidelné uspořádání částic
- např. sklo, papír

Krystaly

ideální krystal
- všechna místa v krystalické mřížce obsazena částicemi
- vzniká opakováním krystalické mřížky v prostoru
7 krystalických struktur, např. kubická, jednoklonná
reálné krystaly mají poruchy (problém např. u polovodičů)

Možnosti osazení krystalické struktury

Prostá - krychle, jejíž vrcholy jsou osazeny částicemi
Bazálně centrovaná - prostá, ale další 2 částice se nacházejí ve středech protilehlých stěn krychle
Plošně centrovaná - částice ve vrcholech i středech stěn
Prostorově centrovaná - částice ve vrcholech a středu krychle

Poruchy krystalu

Bodové - lokální, 1 částice
- vakance - částice chybí
- interstice - částice navíc
- substituce - nahrazení částice jinou částicí, využíváno v polovodičích
Čarové
- hranová - v mřížce se objeví hrana navíc
- šroubová - mřížka se posune

Deformace pevných těles

změna tvaru, objemu, celistvosti v důsledku působení vnějších sil
dělení podle výsledného stavu tělesa
- pružné - jakmile přestanou působit síly, těleso se vrátí do původního stavu
- nepružné - dochází k trvalé deformaci, těleso se nevrací do původního stavu
dělení podle působících sil
- tlakem - vektory sil na stejné přímce s opačným směrem, působí dovnitř tělesa
- tahem - vektory sil na stejné přímce s opačným směrem, působí vně tělesa
- ohybem - tři rovnoběžné síly, na koncích tělesa působí stejným směrem, síla uprostřed působí opačným směrem
- smykem - tlak nebo tah, ale síly nepůsobí na stejné přímce
- kroucením

Deformační křivka

závislost relativního prodloužení $\epsilon$ na normálovém napětí $\sigma_{n}$ (anglicky stress-strain curve)
tvar křivky závisí na materiálu

Prodloužení do meze úměrnosti - prodloužení je přímo úměrné normálovému napětí (Hookův zákon)
Prodloužení do meze elasticity - materiál se prodlužuje rychleji, po překonání meze elasticity se již nevrací do původního tvaru
Mez pevnosti - při překročení dochází k roztržení materiálu

Teplotní dilatace pevné látky

popisuje změnu látky se změnou teploty
s rostoucí teplotou rostou rozměry tělesa
koeficient délkové teplotní dilatace $\alpha [K^{-1}]$
2 typy
- délková $l = l_{0}\cdot(1+\alpha\Delta T)$
- objemová $V = V_{0}\cdot(1+\beta\Delta T) \approx V_{0}\cdot(1+3\alpha\Delta T)$

Struktura a vlastnosti kapalin

Těsně pod povrchem kapaliny vzniká povrchová vrstva. Uvnitř kapaliny jsou síly působící na částici v důsledku interakcí s jinými částicemi v rovnováze, v povrchové vrstvě však ne, jelikož interakce s částicemi mimo kapalinu jsou slabší. Výslednice sil tedy působí dovnitř kapaliny. Tloušťka této vrstvy tedy přibližně odpovídá vzdálenosti, na kterou na sebe působí částice (sféra molekulového působení, $\approx 0,1 nm$ )

Aby částice mohly vstoupit do povrchové vrstvy, musí působit proti povrchové síle, která se je snaží vtáhnout zpět dovnitř kapaliny. Mají tedy vyšší energii, součet energií všech částic v povrchové vrstvě nazýváme povrchovou energií. Velikost povrchové energie závisí na povrchovém napětí a počtu částic (povrchu).

E_{p} = \sigma_{p} \cdot S

V důsledku této energii se povrch kapaliny chová jinak než zbytek kapaliny. Vzniká tenká blána, která ohraničuje kapalinu a na které můžou například některé předměty plavat. Díky ní také kapaliny přirozeně tvoří kapky ve tvaru koule, jelikož minimalizují povrch.

Důsledkem minimalizování povrchu je také povrchová síla, která působí na tělesa v povrchové vrstvě ve snaze minimalizovat povrch (například mydlinová blána v očku bublifuku působí na očko ve snaze ho zmenšit). Velikost této síly opět závisí na povrchovém napětí a na délce, po které se těleso stýká s povrchovou vrstvou.

F_{o} = \sigma_{p} \cdot l

Kapilární tlak

Při kontaktu kapaliny s pevnou látkou (například se stěnou nádoby) může dojít ke 2 jevům:

kapalina smáčí pevnou látku (voda ve skleněné nádobě)
nesmáčí pevnou látku (voda na impregnovaném oblečení, rtuť v nádobě)

Příčinou jsou interakce mezi částicemi kapaliny a pevné látky, pokud jsou dostatečně silné, kapalina smáčí látku a tvoří dutý povrch (výslednice sil mezi částicemi kapaliny a pevné látky míří ven od kapaliny). Čím jsou síly pevné látky silnější, tím více kapalina smáčí povrch pevné látky (zmenšuje se stykový úhel povrchu kapaliny a pevné látky). Pokud je stykový úhel roven 0°, mluvíme o dokonalé smáčivost, pokud je roven 180° o dokonalé nesmáčenlivosti.

Pod zakřiveným povrchem kapaliny vzniká dodatečný, kapilární, tlak, který vyrovnává hydrostatický tlak. Při smáčení je tlak záporný (vyrušuje hydrostatický), při nesmáčení kladný (přidává k hydrostatickému). Závisí na přímo úměrně povrchovém napětí a nepřímo úměrně na poloměru zakřivení: $p_{k} = \frac{2\sigma}{R}$ . V případě, že máme dvě zakřivené povrchy poblíž sebe (například v bublině), vznikají dva kapilární tlaky.

Změna skupenství látek

Celkem 6 přechodů: sublimace, desublimace, odpařování, kapalnění, tání a tuhnutí.

Tání a tuhnutí

Tání - tepelný pohyb částic se urychlí dostatečně na to, aby došlo k přetrhání vazeb mezi částicemi. Děj probíhá u různých látek při různých teplotách, kterou nazýváme teplotou tání. V tabulkách se uvádí za normálního tlaku, její hodnota lehce závisí na tlaku. U většiny látek s vyšší teplotou roste, u vody je tomu však naopak (regelace ledu).

Krystalické látky tají za konstantní teploty (růst teploty se zastaví na teplotě tání, než celý krystal roztaje). U amorfních látek pozvolna roste teplota tání během děje.

Z termodynamického hlediska je potřeba tělesu dodat teplo, takzvané skupenské nebo latentní teplo tání, značeno $L_{t} = m \cdot l_{t}$ , kde $m$ je hmotnost látky a $l_{t}$ je měrné skupenské teplo tání. Měrné skupenské teplo tání je tedy teplo, které potřebujeme dodat kilogramu látky při teplotě tání, aby roztálo.

Opačným procesem k tání je tuhnutí. Odebíráním tepla z kapaliny dochází ke zpomalování částic látky, než se zpomalí natolik, že dojde ke vzniku vazeb mezi částicemi a přechodu do pevného skupenství. Tuhnutí neprobíhá v celé kapalině najednou, začíná na krystalizačních jadrech. Může tedy dojít ke stavu, kdy je kapalina ochlazena pod teplotu tuhnutí, ale stále je pevná. Pokud je v kapalině jen jedno krystalizační jádro, dochází ke vniku monokrystalu, je-li jich více, vzniká polykrystal.

Velikost skupenského tepla tuhnutí a teploty tuhnutí je za stejných okolních podmínek stejná jako skupenské teplo tání a teplota tání, jsou tedy i stejně označovány.

Vypařování a kondenzace

Vypařování je změna skupenství z kapalného na plynné, probíhá za prakticky každé teploty, za které je látka kapalná. Nejvíce k němu dochází v povrchové vrstvě, při varu ale v celém objemu kapaliny. Dá tedy urychlit zvýšením teploty, zvětšením povrchu či odstraňováním par kapaliny. Z termodynamického hlediska musíme kapalině dodat skupenské teplo vypařování $L_{v} = ml_{v}$

Var kapaliny je speciální případ vypařování, kdy dochází k vypařování kapaliny z celého objemu, nejen povrchu. Vznikající pára má nižší hustotu a stoupá k povrchu. K varu dochází, je-li kapalina zahřáta na teplotu varu. Teplota varu je, podobně jako teplota tání, charakteristická pro danou kapalinu, ale výrazně závisí na tlaku, s rostoucím tlakem roste.

Opačným procesem k vypařování je kondenzace, česky kapalnění. Dochází k zachytávání molekul par do povrchové vrstvy kapaliny, čímž se zpomalují a uvolňují energii.

V otevřené nádobě převládá vypařování nad kondenzací. Pokud ale nádobu uzavřeme, dojde vlivem vypařování k nasycení vzduchu parami kapaliny, nastane rovnováha mezi výparem a kondenzací. Vzniká sytá pára kapaliny. Tlak syté páry závisí na její teplotě, graf závislosti nazýváme křivkou syté páry.

Křivka má počátek v trojném bodu, tedy v bodě s nejnižším tlakem a teplotou, při kterých látka existuje jako pára. Konec křivky je v kritickém bodě látky, tedy bodě s nejvyšším tlakem a teplotou, za kterých je látka plynem. V kritickém bodě je hustota kapaliny rovno hustotě plynu, tedy nelze rozlišit plyn od kapaliny.

V trojném bodě se setkávají křivky syté páry, tuhnutí a sublimace. Diagram, ve kterém jsou zakresleny všechny tyto křivky se nazývá fázový diagram látky.

Sublimace a desublimace

Přechod mezi pevným a plynným skupenstvím. Je nejčastější u aromatických látek, například vonné látky v potravinách, jsou jí schopny ale i voda nebo například jod. Dochází k nim na povrchu pevných látek. Z termodynamického hlediska musíme látce dotat skupenské teplo sublimační $L_{s} = ml_{s}$ .

Mechanické kmitání a vlnění

Kmitání je pohyb, během kterého se hmotný bod opakovaně vrací do stejného bodu, do takzvané rovnovážné polohy. Vždy se jedná o nerovnoměrný pohyb, může být navíc periodické (harmonický nebo obecný), tlumené či buzené. Může být přímočarý i křivočarý, trajektorií bude však ale úsečka nebo část jiné křivky, nejčastěji kružnice.

Harmonický lineární oscilátor

Nejjednodušším příkladem kmitání je harmonický lineární oscilátor. Hmotný bod se pohybuje periodicky po úsečce, jeho vzdálenost od rovnovážné polohy nazýváme výchylkou či okamžitou výchylkou. Je často značená $y$ Jelikož je kmitání harmonické, mění se výchylka podle funkce sinus. Proto platí:

y = y_{m} \cdot \sin\left(2\pi \frac{t}{T}\right) = y_{m} \cdot \sin(2\pi t \cdot f)

Kde $y_{m}$ je maximální výchylka, často také značená $A$ (pro amplitudu), $t$ čas, $T$ perioda a $f$ frekvence. Platí známý vztah $T = \frac{1}{f}$ . Argument sinu můžeme nahradit fází $\phi$ , pokud je v počátku kmitání $\phi = 0$ , mluvíme o kmitání o kmitání s nulovou počáteční fází, pokud ne, přičítáme k argumentu $\phi_{0}$ .

Okamžitá rychlost oscilátoru poté bude derivací výchylky, platí tedy:

v = v_{m} \cdot \cos{\phi}

Pro maximální rychlost potom platí:

v_{m} = \omega y_{m}

Zrychlení oscilátoru bude opět derivací, tentokrát ale rychlosti, tedy:

a = - a_{m} \cdot \sin{\phi} = \omega^2y_{m} \sin{\phi}

Skládání kmitání

Vykonává-li hmotný bod alespoň 2 kmitavé pohyby najednou, můžeme je složit do jednoho, složeného kmitání. Podobně jako u vrhů je ale mnohdy jednodušší počítat každý pohyb zvlášť, protože platí princip nezávislosti pohybů, zde konkrétně princip superpozice: Vykonává-li hmotný bod více kmitavých pohybů současně, je jeho okamžitá výchylka rovna součtu výchylek jednotlivých pohybů v daném čase.

Výsledné kmitání nemusí (ale může) být harmonické.

Skládání kmitání na stejné přímce

Pokud kmitají se stejnou frekvencí, říkáme, že kmity jsou izochronní. Amplituda výsledného kmitání závisí na amplitudách jednotlivých kmitání a fázovém rozdílu kmitání podle rovnice:

y_{m} = \sqrt{y_{m1}^{2} + {y}_{m2}^{2} + {y}_{m1}{y}_{m2}\cos{\Delta\phi}}

Z této rovnice získáváme 2 zvláštní případy. Pokud kmitají se stejnou fází dochází k takzvanému superpozičními zesílení a amplituda kývání bude součtem amplitud, pokud kmitají s opačnou fází dochází naopak k superpozičnímu zeslabení, výsledná amplituda bude rozdílem amplitud jednotlivých kmitání.

Pokud oscilátor nekmitá izochronně, ale poměr frekvencí je racionální a oba kmitavé pohyby mají stejnou amplitudu, můžeme napsat, že kmitá podle rovnice:

y = y_{m}\cos{\left(\frac{\omega_{1} - \omega_{2}}{2}t\right)}\sin{\left(\frac{\omega_{1} + \omega_{2}}{2}t\right)}

Říkáme tedy, že se jeho amplituda mění harmonicky a s frekvencí, která je rovna průměru frekvencí. Pokud nebude splněna podmínka na racionálnost, nebude již kmitání periodické.

Skládání kmitů ve směrech na sebe kolmých

Vznikají při nich Lissajousovy křivky (nebo obrazce), jejichž tvar závisí na amplitudách, frekvencích a fázových rozdílech složek.

Dynamika kmitání

Dynamika zkoumá vliv sil na těleso, tedy hmotný bod. Můžeme tedy vyjít z 2. Newtonova dynamického zákona, a protože známe zrychlení působící na oscilátor, můžeme určit i sílu působící na oscilátor.

F = ma

a = -a_{m}\sin(\phi)

F = -m\omega^2y_{m}sin(\phi) = -m\omega^2y

Ideální pružinový oscilátor (IPO)

Mějme pružinu, na kterou zavěsíme závaží tak, aby se nekmitala. Délka pružiny bude delší, než před zavěšením závaží, závaží bude v rovnovážné poloze pružiny. Na závaží působí 2 síly - tíhová síla a síla pružnosti pružiny, která působí proti tíhové síle. Pro sílu pružnosti platí:

F_p = k \cdot \Delta l

F_p = F_G

Kde $k$ je pružnost pružiny a $\Delta l$ prodloužení pružiny.

Uvedeme-li nyní tuto soustavu do kmitu (třeba tak, že za závaží trochu zatáhneme a pak jej pustíme), dojde k narušení rovnováhy sil. Vznikne nám vyslednice sil, která je rozdílem síly pružnosti a tíhové síly. Dosazením do předchozího vztahu získáme vztah pro sílu, která způsobuje kmitání IPO:

F = F_p-F_G = k(\Delta l - y) - mg = -ky

Z tohoto vztahu můžeme určit tzv. vlastí úhlovou frekvenci IPO. Slovem vlastní máme na mysli úhlovou frekvenci, která nebere v úvahu žádné další síly než ty, které vycházejí z vlastností oscilátoru.

-m\omega^2y=-ky

\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}

Matematické kyvadlo

Ideální model kyvadla - hmotný bod zavěšený na dokonale tuhém a pevném závěsu nulové hmotnosti a nekonečné délky ( $l \ggg y$ ). V rovnovážné poloze na hmotný bod působí tíhová síla a síla způsobená pevností závěsu.

Když kyvadlo vychýlíme o úhel $\alpha$ , nepůsobí již tíhová síla ve směru závěsu. Můžeme ji tedy rozdělit na dvě složky, složku, která napíná závěs, a sílu, která způsobuje pohyb hmotného bodu zpět do rovnovážné polohy. Pro tuto druhou složku platí:

F = - F_G \cdot \sin\alpha

Pro matematické kyvadlo potom platí:

F = mg\sin\frac{y}{l}

V těchto vztazích je znaménko minus dosazeno před síly trochu násilně. Je tomu tak proto, aby síla směřovala k rovnovážné poloze. Ze vztahu pro matematické kyvadlo můžeme také vyjádřit vlastní úhlovou frekvenci matematického kyvadla.

\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}

Povšimněme si, že ve vztahu pro vlastní úhlovou frekvenci nenalezneme hmotnost. Nachází se v něm ale tíhové zrychlení, dvě identická kyvadla umístěná na rozdílných planetách by tedy měla různé úhlové frekvence.

Mechanická energie IPO

Podobně jako u jiných pohybujících se těles, má i mechanická energie IPO dvě složky, kinetickou a potenciální.

E = E_k + E_P

Pro kinetickou složku platí nám již známý vztah, do kterého můžeme dosadit za rychlost ze vztahu pro rychlost IPO.

E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_m^2\cos\phi

Potenciální energie bude ale způsobena natažením pružiny, která je rovna práci, kterou musíme vykonat pro natažení pružiny z rovnovážné polohy do dané polohy. V našem případě bude vzdálenost, po kterou síla koná práci, výchylka oscilátoru. Práci tedy určíme pomocí vzorce

E_P = W = \frac{1}{2}ky^2 = \frac{1}{2}ky_m^2\sin^2\phi

Dosazením do původního vztahu tedy dostáváme

E=\frac{1}{2}mv_m^2\cos\phi+\frac{1}{2}ky_m^2\sin^2\phi = \frac{1}{2}ky_m^2(\cos^2\phi + \sin^2\phi) = \frac{1}{2}ky_m^2

Zjišťujeme tedy, že energie IPO je konstantní, platí tedy zákon zachování mechanické energie. Ke stejnému výsledku můžeme dojít úvahou, že $E_k$ dosahuje maxima v rovnovážné poloze, kde je $E_P=0$ , a naopak $E_P$ má své maximum při maximální výchylce, kde je zase $E_k=0$ . Protože oscilátor nepřijímá ani neztrácí žádnou energii, musí jejich součet být konstantní.

K podobnému výsledku můžeme dojít i u matematického kyvadla, kde ale platí jiné vztahy a k jejich vyřešení je třeba diferenciálního počtu.

Reálné oscilátory

V realitě bohužel vždy působí síly proti pohybu HB, ať už se jedná o odpor prostředí (vzduchu, kapaliny), odpor materiálu pružiny či závěsu či jiné, ale prakticky zanedbatelné síly.

Důsledkem toho je tzv. tlumené kývání oscilátoru, během kterého oscilátor ztrácí energii a tím postupně klesá jeho amplituda. Zajímavostí je, že frekvence tlumeného kmitání je trochu menší než vlastní frekvence oscilátoru. Je zmenšena o tzv. dekrement.

Chceme-li docílit harmonického kmitání reálného oscilátoru, musíme kompenzovat tyto ztráty působením vnější síly. Abychom docílili přesně harmonického kmitání, museli by být i průběh působení vnější síly harmonický.

F=F_m\sin(\Omega t)

Výsledné harmonické kmitání má poté vnucenou úhlovou frekvenci $\Omega$ . Na vztahu mezi $\Omega$ a $\omega$ závisí amplituda kmitání. Pokud jsou úhlové frekvence podobné, dochází k rezonanci, a amplituda kmitání výrazně roste.

Rezonance

Vznik rezonance můžeme znázornit rezonanční křivkou. Jedná se o závislost amplitudy oscilátoru na úhlové frekvenci vnější síly. Maximum této závislosti je kolem vlastní úhlové frekvence oscilátoru a závisí na tlumení oscilátoru. Pokud je oscilátor ideální, tedy není tlumený, přibližuje se amplituda v maximu k nekonečnu. Pokud je oscilátor tlumený, je maximum konečné a závisí na tlumení - čím je tlumení vyšší, tím nižší je maximum rezonanční křivky.

V praxi se rezonance využívá například u hudebních nástrojů v rezonančních skříních (např. kytar, houslí), můžeme se s ním setkat ale například při vibraci vozů na železnici či při pravidelném pochodu přes most.

Mechanické vlnění

Spojíme-li několik oscilátorů se stejnou vlastní úhlovou frekvencí spojením, kterým si můžou předávat energii, začnou si předávat energii a vznikne mechanické vlnění.

Obecněji, mechanické vlnění je šíření energie mechanického kmitání prostředím ze zdroje do okolního prostředí. Podmínkou pro jeho vznik jsou:

Zdroj, nějaký oscilátor, který odevzdává svou energii okolnímu prostředí
Látkové prostředí, kterým se kmitání může šířit

Typy mechanického vlnění

Podle prostředí - prostorové (zvuk), rovinné (vlny na hladině vody) či lineární (lano)
Podle směru šíření - příčné (vlnění se šíří ve směru kolmém na kmitání zdroje, například vodní hladina, rozkmitané lano)a podélné (vlnění se šíří ve směru kmitání, například zvuk)
Podle šíření energie - postupné (postupuje prostředím od zdroje) a stojaté (energie se již nešíří, jen se přeměňuje, například struna)
Podle ideálnosti - ideální (neztrácí se energie vazbami v prostředí) a reálné (energie se ztrácí do okolí, tlumené)

Postupné ideální mechanické vlnění lineární

Mějme nekonečnou řadu hmotných bodů, spojených vazbami. Jeden z bodů nazvěme zdrojem a rozkmitejme. Kmitání se začne šířit řadou dále, rychlost tohoto šíření bude záviset na tuhosti vazeb. Čím vyšší je tuhost vazeb, tím rychleji se bude vlnění šířit. Nejlépe se vznik tohoto vlnění představuje na příčném vlnění, například vlnostrojem.

Vlnu popisujeme periodou kmitání $T$ , která společně s rychlostí vlnění (fázovou rychlostí, závisí na vazbách v prostředí) $v$ definuje vlnovou délku $\lambda = Tv$ .

Celou vlnu můžeme popsat rovnicí, která popisuje kmitání jednotlivých bodů vlny. V této rovnici budeme uvažovat, že zdroj kmitá s nulovou počáteční fází.

$y_{zdroj} = y_{m}\sin(\omega t + \phi_{0}), \phi_0 = 0$ $y = y_{m}\sin\omega\left(t-\frac{x}{v}\right) = y_{m}\sin(\omega(t-t_{0}))$

Kde $x$ je vzdálenost bodu od zdroje a $t_0$ čas, za který se vlna rozšíří ze zdroje do daného bodu. Rovnici můžeme dále upravit do tvaru

y = y_m \sin \left(2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)\right)

který se používá častěji.

Skládání vlnění (interference)

Při skládání vlnění opět můžeme aplikovat princip superpozice. Podmínkou pro skládání vlnění je, aby do bodu, ve kterém chceme vlnění skládat, dospělo vlnění z alespoň dvou zdrojů. Tato vlnění navíc musí být koherentní.

Pokud jsou vlnění koherentní, mají stejnou frekvenci a konstantní fázový rozdíl. Namísto fázového rozdílu můžeme uvažovat o dráhovém rozdílu, protože se obě vlnění pohybují stejným prostředím, čímž je jejich rychlost šíření stejná.

Výsledek interference závisí zejména na fázovém rozdílu. Mohou zde nastat 2 speciální případy: interferenční maximum - amplitudy vlnění se sčítají ( $\Delta\phi=2k\pi$ , $\Delta x = k\lambda$ , $k \in \Z$ ); interferenční minimum - amplitudy se odečítají ( $\Delta\phi=(2k+1)\pi$ , $\Delta x = (2k+1)\frac{\lambda}{2}$ , $k \in \Z$ ).

Interakce s koncem prostředí

V reálném světě se setkáváme s problémem: vlní se i věci, které nejsou nekonečné. Pokud vlnění narazí na konec prostředí, ve kterém se šíří, může dojít k několika různým situacím.

Odraz vlnění

Narazí-li vlnění na konec prostředí, stává se poslední bod, který se vlní, zdrojem, protože nemůže odevzdávat dalším bodům. Jelikož je velikost prostředí konstantní (v porovnání s periodou), je konstantní i dráhový rozdíl a vniká interference a stojaté vlnění. Podle charakteru posledního bodu rozlišujeme fází vlnění druhého zdroje:

Volný konec - vlnění se odráží se stejnou fází.
Pevný konec - vlnění se odráží s opačnou fází.

Ve vzniklém stojatém vlnění existují body, které nekmitají vůbec, ty nazýváme uzly, a ty, ve kterých dosahuje vlnění maxim, které nazýváme kmitny.

Šíření vlnění prostředím

Pokud zkoumáme vlnění v rovině nebo v prostoru, uplatňujeme při jeho popisu Huyghensův princip. Ten používá pojem vlnoplocha, což je geometrické místo všech bodů, do kterých vlnění dospěje ze zdroje za daný čas.

Nejčastěji se tato vlnoplocha kreslí kolem bodového zdroje, pokud je prostředí homogenní a izotropní, je vlnoplochou kružnice nebo kulová plocha (sféra). Kolem plošného zdroje má vlnoplocha tvar přímky či válce.

Huyghensův princip říká:

Vlnění se od zdroje šíří ve vlnoplochách
Každý bod vlnoplochy lze považovat za elementární zdroj vlnění
Výsledná vlnoplocha je vnější obalovou křivkou/plochou všech elementárních vlnoploch

Tento princip vysvětluje jevy na rozhraní prostředí, například odraz či ohyb vlnění v nehomogenním prostředí.

Pro popis šíření vlnění můžeme použít také paprsky, které znázorňují směr šíření vlnění. Jsou to orientované křivky s počátkem v zdroji vlnění, které jsou v každém bodě prostředí kolmé na vlnoplochu. V okolí bodového zdroje tvoří rozbíhavý svazek, v okolí plošného zdroje svazek rovnoběžný. Ve velké vzdálenosti od bodových zdrojů můžeme i svazky paprsků od nich považovat za rovnoběžné.

Jevy na rozhraní dvou prostředí

Absorpce

Dopadá-li vlnění na nepružné prostředí, jehož povrch neumožňuje odraz, dochází k pohlcení vlnění. Například dopad zvuku na zvukový izolant.

Reflexe

Umožňuje-li nepružný povrch odraz, dochází k odrazu. Příkladem může být opět zvuk, hlavně ozvěna. Platí zákon odrazu, paprsek dopadající na povrch se odráží pod stejným úhlem, jako dopadá. Pokud se paprsek odráží v trojrozměrném prostoru, leží odražený paprsek ve stejné rovině jako původní paprsek.

Refrakce

Dopadne-li vlnění na pružné prostředí, ve kterém se vlnění šíří jinou rychlostí, dochází k ohybu vlnění, například světlo v čočce. Jak moc se paprsek vlnění ohne závisí na poměru fázových rychlostí vlnění v prostředích. Pokud je rychlost vlnění v druhém prostředí menší než v prvním, nastává lom ke kolmici, pokud je rychlost vlnění v prvním prostředí menší než v druhém, nastává lom od kolmice. Zákon lomu říká

\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{v_1}{v_2}

kde $\alpha$ je úhel, pod kterým paprsek dopadá na rozhraní, $\beta$ úhel, pod kterým paprsek rozhraní odpouští a $v$ fázová rychlost vlnění. Dle této rovnice může vyjít úhel, pod kterým paprsek odpouští rozhraní, vyšší než 90°. V takovémto případě nedochází k refrakci a vlnění se pouze odráží.

Difrakce

Dopadá-li vlnění na nepropustnou překážku vhodných rozměrů, dochází k difrakci. Difrakce je jev, při kterém se vlnění ohne za překážky rozměrů srovnatelných s vlnovou délkou.

Zpravidla dochází k různé kombinaci těchto jevů.

Základy akustiky

Akustika je věda zkoumající zvuk, tedy mechanické vlnění, které můžeme zaznamenat uchem. Jedná se o vlnění o frekvencích 16 Hz až 16 kHz, ale tyto hranice jsou individuální a v průběhu života se mění. Kvůli důležitosti zvuku pro člověka se jedná o jednu z nejstarších disciplín fyziky.

Zkoumáme ale i frekvence vyšší či nižší, než jsou slyšitelné uchem, které poté odlišujeme jako infrazvuk a ultrazvuk. Tyto frekvence se například používají při diagnostice, nebo je můžeme objevit v přírodě v použití jiných živočichů.

Pokud zkoumáme zvuk ve vzduchu, jedná se o vlnění podélné, tedy směr šíření vlnění je stejný, jako směr kmitání jednotlivých částic (molekul) vzduchu. Kmitání vzduchu ovlivňuje tlak vzduchu, jehož kolísání detekuje ušní bubínek.

V kapalinách a pevných látkách je zastoupeno kmitání podélné i příčné, přesná kombinace závisí na charakteru látky a vnitřních vazeb.

Zdroje zvuku

Nejčastějším zdrojem zvuku je chvějící se mechanická soustava, přesněji stojaté vlnění mechanické soustavy. Můžeme rozlišit lineární soustavy (například struny) nebo rovinné soustavy (blána bubnu, hlasivky).

Vlastnosti zvuku

Zvuky rozdělujeme na tóny a hluky. Tóny mají průběh harmonický, o kterých hovoříme jako o základních tónech, nebo periodický, které nazýváme složenými a obsahují vyšší harmonické složky, které ovlivňují barvu tónu.

Hluky (nebo ruchy, šumy…) mají neperiodický průběh, vydávají je například bicí nástroje.

U tónů dále hovoříme o výšce, tedy o frekvenci. Rozlišujeme absolutní a relativní výšku, absolutní je dána přesnou frekvencí, relativní je určena poměrem a mluvíme o ní v intervalech (například oktávách).

Poslední vlastností, o které často hovoříme, je hlasitost. Ta je určena amplitudou vlnění a souvisí s akustickým výkonem, který zvuk přenáší. Kvůli obrovskému rozsahu výkonů, které můžeme uchem slyšet (pW a desítky W), se popisuje hladinou intenzity zvuku $L$ . V soustavě SI je bezrozměrná, ale používá se jednotka dB. Je definována jako $L = 10 \log(\frac{P}{P_0})$ , kde $P_0$ je práh slyšení. Pro něj se používá hodnota $10^{-12} W$ .

Pro popis šíření zvuku je důležitá také rychlost zvuku. Ta závisí na vlastnostech prostředí, ve kterém se zvuk šíří, hlavně na teplotě, hustotě, vazbách, ale také na mnoha dalších. Pro vzduch je rychlost zvuku přibližně 330-340 metrů za sekundu. V kapalinách a pevných látkách, které umožňují šíření zvuku, je rychlost zvuku vyšší. Pro vodu je to například 1500 m/s, v oceli až 5000 m/s.

Na rychlosti zvuku a frekvenci závisí vlnová délka zvuku, stejně jako pro jiná vlnění platí $\lambda = \frac{v}{f}$ .

Jevy na rozhraní dvou prostředí

Jelikož je zvuk mechanické vlnění, chová se stejně i na rozhraní prostředí. Více v části Jevy na rozhraní dvou prostředí.